Плотность заполнения сердечников комбинированных кабелей

В конструкциях современных кабелей управления встречаются несколько типов сердечников, состоящих из жил (в дальнейших расчетах называемых элементами) разных размеров и выполненных из различных материалов.
Современные тенденции к миниатюризации изделий выдвигают главную задачу конструирования кабелей управления — получение максимальной плотности упаковки. Конструкции сердечников, обладающие этим свойством, являются оптимальными. В идеальном случае сечение отдельных элементов представляет собой круг. Задача определения оптимальной конструкции сердечника может быть сформулирована следующим образом: заданы кругов радиусом кругов радиусом, кругов радиусом  требуется разместить эти круги внутри круга г так, чтобы плотность упаковки, или коэффициент заполнения, был максимален.
Эта задача относится к области комбинаторной геометрии, точное решение ее получить непросто, поэтому для прикладных целей можно ограничиться приближенным решением, в основе которого будут лежать некоторые упрощающие предположения.
Предположим, во-первых, что имеется всего два типа элементов, образующих сердечник, т. е. А= 2, а радиусы элементов; во-вторых, что сердечники могут быть только [правильными, т. е. такими, что множество точек, являющихся центрами кругов, представляющих собой сечения элементов, может быть разбито на подмножества, каждое из которых содержит не менее трех точек, лежащих на одной и той же окружности из некоторого семейства концентрических окружностей с.
Будем считать, наконец, что окружность, являющаяся границей круга, принадлежит семейству С.
Множество элементов, центры которых лежат на одной окружности Си будем называть i-м п о в и в о М.
Кроме допущений, сформулированных выше, услд-вимся считать, что все элементы одного повива—одного типа. Будем называть 1-й повив заполненным, если каждый из кругов, центры которых расположены на окружности C, касается двух соседних; в противном случае повив называется незаполненным.
Очевидно, оптимальные конструкции следует искать лишь для сердечников с заполненными позивами.
Порядок чередования повивов, состоящих из элементов разных типов, не сказывается на коэффициенте заполнения.
Окружности, на которых в обоих случаях лежат элементы — 1 -го повива, одни и те же, поскольку с ними при переходе от варианта «а» к варианту «б» мы никаких преобразований не производим. Ширина полосы h, в которой располагаются три выделенных повива, также неизменна. Итак, в обоих вариантах никаких изменений ни в геометрических размерах сердечника, ни в числе элементов не происходит, поэтому коэффициент заполнения одинаков.
В силу сделанного замечания ограничимся рассмотрением сердечников, у которых в первых повивах расположены только элементы первого типа, а в следующих повивах — только второго.
Отметим, что условие существования функции f(N, х) имеет вид ШЩ3(1—х2) и при х—|§ приводит к неравенству ЩЩ3. Это следует понимать так; когда радиусы элементов, располагающихся' внутри, уменьшаются до нуля, сердечник уже однородного кабеля не может состоять менее, чем из трех жил. Итак, минимальный оптимальный сердечник должен содержать три жилы.
Функция графически может быть представлена, как поверхность. Из рис. 3-12 видно принципиальное различие между рассматриваемыми двумя типами конструкций сердечников.
Оказывается скорость увеличения числа элементов с большим радиусом в конструкциях, где эти элементы укладываются внутрь жгута, значительно больше скорости их увеличения, когда они укладываются снаружи.
Если в (3-18) зададим фиксированные значения Nz, определяющей число элементов на периферии, то получим линии равного уровня, изображенные на рис. 3-12 жирными линиями на соответствующих поверхностях. Цифры, стоящие около этих линий, указывают число таких элементов в сердечнике. Числовые значения превышения кoэффидиeнa заполнения г]оо над т) в зависимости от числа п и отношения радиусов элементов приведены в табл. 3-12.
К введенным характеристикам конструкций сердечников полезно добавить еще две: приведенную площадь сечения, т. е. площадь сечения сердечника, определяемую, отнесенную к одной жиле, и приведенную массу т. е. массу единицы длины кабеля, отнесенную к одной жиле.
Наконец, если  q2— массы единиц длин одного элемента первого и второго типа соответственно, то масса Q единицы длины сердечника кабеля.
Комбинированные кабели, сердечники которых частично состоят из экранированных жил
Комбинированные кабели управления, сердечники которых состоят из жил одной и той же конструкции, причем часть из них экранированные, находят широкое применение в современной технике и представляют собой частный случай общих конструкций, изложенных в п. В. Поэтому для анализа конструкций таких кабелей применимы все приведенные выше соображения.
Как было отмечено выше, анализ сводится к рассмотрению большого количества вариантов. Чтобы несколько сократить объем вариантов, примем условие, что число экранированных жил составляет 30—40% общего числа жил, а конечной целью анализа поставим сравнение двух принципиально разных конструкций: а) экранированные жилы расположены внутри; б) экранированные жилы лежат снаружи.
Число экранированных жил будем обозначать, неэкранированных — п. Добавим к рассмотренным группу конструкций, в которых жилы на периферии располагаются в два повива. Распределение жил в таких конструкциях приведено в табл. 3-13а.
Данные табл. 3-1 За показывают, что среди конструкций, в которых экранированные жилы расположены внутри, имеется шесть приемлемых конструкций, а среди конструкций с экранированными жилами на периферии— пять. Все найденные конструкции характеризуются тем, что представляют собой конструкции с заполненными повивами; при —1,412 они приведены в таблице.
Таким образом, найдены все интересующие нас конструкции кабелей с общим числом жил не более 120.
До сих пор два рассматриваемых варианта выступали как равные, предоставляя лишь возможность выбора удовлетворяющих поставленным условиям конструкций из довольно широкого диапазона общего количества жил. Однако у нас есть возможность провести сравнение вариантов между собой, если ввести такие показатели, как приведенная площадь сечения или площадь сечения сердечника, отнесенная к одной жиле, S/, и приведенная масса и масса единицы длины кабеля на одну жилу.
Воспользовавшись формулами (3-26) и (3-27), можно получить данные для сравнительной оценки конструкций двух типов, подобные приведенным в табл. 3-15.
Данные табл. 3-15 показывают, что в среднем все показатели кабелей, конструкция которых выполнена по варианту «а», лучше показателей кабелей, имеющих конструкцию по варианту «б». Более того нетрудно просчитать экономическую эффективность этих вариантов, что немаловажно при конструировании аппаратуры.

Яндекс.Метрика